Зеев (Владимир) Гейзель

Математическая олимпиада

Слово З. Гейзелю:

В моем архиве сохранились задачи, которые я когда-то придумывал для разных мабоев и олимпиад - или просто для друзей. Некоторые из них появились на олимпиадах - но в "обрезанном" виде. Не все они равноценны, но - мне кажется - все небезынтересны. Поэтому я решил предложить их вниманию бывших и не бывших олимпиадников...

1. Таблица из чисел +1 называется правильной, если число в каждой улетке равно произведению его соседей (соседними называются различные клетки, имеюшие общую сторону.
а) Доказать, что число правильных табоиц фиксированного размера равно целой степене двойки.
б) Доказать, что любой набор из +1 является первой строкой некоторой правильной таблицы.
в) Сколько существует правильных таблиц из n строк и m столбцов?

2.
а) Для всякого натурального числа М существует другое натуральное число, сумма цифр квадрата которого равна M в степени 2. Доказать.
б) Верно ли, что для всякого натурального числа М и для всякого натурального числа k существует другое натуральное число x такое, что сумма цифр x в степени k равна M в степени k?

3. Министерство транспорта Израиля построило в стране 100 трамвайных станций. Теперь нужно утвердить трамвайные маршруты так, чтобы из любой станции в любую можно было проехать без пересадок (возможно, с промежуточными станциями) единственным маршрутом (для удобства граждан) и чтобы любые два маршрута имели хотя бы одну общую станцию (для удобства инспекторов). Что можно посоветовать министру транспорта?

4.
а) Вокруг заданного эллипса описать шестиугольник наименьшей площади
б) Вокруг заданного эллипса описать шестиугольник наименьшего периметра

5. Найти все пары многочленов P, Q таких, что для любого x верно равенство: xP(x)Q(x-1) - xP(x-1)Q(x) = P(x-1)Q(x-1)


Hosting by мНБНЯРХ юПСЖ 7 МЮ ПСЯЯЙНЛ яГШЙЕ TopList Rambler © Studio Har Moria